Zero To Hero

1. Математика, мистецтво і ідеї
2. Ну це все зрозуміло, так в чому ж твоя велика думка?
3. Але матаналіз - це складно!
4. Так про що ж матаналіз?
5. Приклад, будь ласка
6. Трохи про приклади
7. Трохи про математичної строгості (для фанатиків цієї науки)

У мене непрості відносини з Матаналіз: з одного боку він демонструє всю красу і міць математики, а з іншого - агонію математичної освіти.

Математичний аналіз пов'язує різні теми в елегантній, але досить складною для розуму манері. Найближча аналогія, яка приходить мені на розум, - Дарвінівська теорія еволюції: чи варто її зрозуміти, і весь світ бачиться з позиції виживання. Ви розумієте, чому ліки привели до резистентним мікробам (виживає найбільш пристосований). Ви розумієте, чому цукор і жир солодкі на смак (смак стимулює споживання висококалорійних продуктів в умовах дефіциту резервів організму). І всі ці моменти складаються в єдину, логічну картину.

Матаналіз таким же чином проливає світло на всю систему математики. Чи не здається вам, що всі ці формули якось пов'язані?

Так і є. Але більшість з нас вивчають ці формули незалежно один від одного. Математичний аналіз дозволяє почати з «довжина кола = 2 * π * r» і вивести інші формули для обчислення площі круга, сфери і навіть обсягу кулі - древнім грекам дуже б знадобився подібний підхід.

На жаль, матаналіз уособлює собою всі труднощі у вивченні математики. Більшість уроків пояснюються на натягнутих, неправдоподібних прикладах, хитромудрих доказах і банальному заучуванні, яке геть вбиває інтуїцію.

Так дійсно не повинно відбуватися.

Математика, мистецтво і ідеї

Дещо я зрозумів ще зі школи: математика - не найскладніша частина математики; найважче - мотивація до її освоєння. Особливо, вміння не втрачати інтерес, незважаючи на:

• Викладачів, більше сконцентрованих на штампуванні публікацій і своїй кар'єрі, ніж на викладанні
• Небезпідставні побоювання, що математика - це складно, нудно, непопулярне або «не ваш предмет»
• Підручники і навчальні плани, більше націлені на отримання прибутку і хорошу статистику по тестуванням знань, ніж на пояснення сутності предмета.

'Плач математика' [pdf] - відмінне есе на цю тему, яке викликало бурхливий резонанс серед багатьох прочитали його :

«... якби мені довелося створювати механізм з єдиною метою зруйнувати природну цікавість дитини і його любов до моделювання, навряд чи б у мене вийшло краще, ніж це вже реалізовано - у мене б просто не вистачило фантазії, щоб змагатися з такими байдужими, смутними ідеями , які втілені в сучасних методах вивчення математики ».

Уявіть вивчення образотворчого мистецтва так: Дітки, ніякого малювання в дитячому садку. Замість цього, давайте-ка вивчимо хімію лакофарбових виробів, фізику світла і анатомію очі. Після 12 років вивчення цих аспектів, якщо діти (точніше вже підлітки) все ще не зненавидять мистецтво, вони зможуть почати малювати самостійно. В кінцевому підсумку, вони тепер володіють повноцінним фундаментом для того, щоб почати поважати мистецтво. Вірно?

Також і з поезією. Уявіть вивчення цієї цитати (формули):

«Але головне: будь вірний сам собі; Тоді, як слідом за днем ​​буває ніч, Ти не зміниш і іншим. »-Вилив Шекспір, Гамлет

Це елегантний спосіб сказати «будь собою» (і якщо це означає нешанобливо писати про математику, нехай буде так). Але якби ми розглядали поезію на уроці математики, замість пошуку сенсу ми б зайнялися підрахунком кількості складів, аналізували п'ятистопний ямб, розміткою іменників, дієслів і прикметників.

Математика і поезія - це як різні способи пояснити, охарактеризувати одне і те ж. Формули - це кошти до досягнення мети, спосіб вираження математичної істини.

Ми забули, що математика оперує ідеями, це не машинально маніппулірованіе формулами, які виражають ці ідеї.

Ну це все зрозуміло, так в чому ж твоя велика думка?

Ось, що я не буду робити: я не буду переказувати вже написані підручники. Якщо вам потрібні відповіді тут і зараз, є маса вебсайтів , відеоуроків і 20-хвилинок в допомогу.

Замість цього давайте освоїмо основні положення матаналізу. Рівнянь недостатньо - я хочу моментів осяяння, щоб ви дійсно бачили їх зміст і розуміли мову математики.

Формальний математичну мову - це просто спосіб комунікації. Графіки, інформативні анімовані моделі і розмова простою мовою можуть дати більше знань, ніж ціла сторінка хитромудрих доказів.

Але матаналіз - це складно!

Я думаю, що будь-яка людина зможе зрозуміти основні положення матаналізу. Нам не обов'язково бути поетами, щоб насолоджуватися творами Шекспіра.

Вам буде набагато простіше, якщо ви знаєте алгебру і цікавитеся математикою. Не так давно, читання і письмо були роботою спеціально навчених переписувачів. А сьогодні це може зробити будь-яка 10-річна дитина. Чому?

Тому що ми цього чекаємо. Очікування грають величезну роль в розвитку можливостей. Так що чекайте, що матаналіз - це просто ще один предмет. Деякі люди доходять до найдрібніших подробиць (письменники / математики). Але решта з нас можуть просто захоплюватися тим, що відбувається і спробувати його зрозуміти. Я б хотів, щоб кожен освоїв основні поняття матаналізу і сказав «Ось це так!».

Так про що ж матаналіз?

деякі визначають матаналіз як «область математики, що вивчає межі, диференціювання, інтегрування функцій з однієї або більше змінних». Це визначення вірно, але воно зовсім не корисно для новачків.

Ось мій хід: Матаналіз робить з алгеброю те, що алгебра зробила з арифметикою.

• Арифметика - це маніпуляція числами (додавання, множення і т.д.).
• Алгебра знаходить зв'язку між числами: a2 + b2 = c2 - дуже відома зв'язок, що описує співвідношення сторін в прямокутному трикутнику. Алгебра знаходить цілі набори чисел - якщо ви знаєте a і b, ви можете вирахувати і c.
• Матаналіз знаходить зв'язку між рівняннями: ви можете бачити, як одне рівняння (довжина кола = 2 * π * r) пов'язане з іншим (площа кола = π * r2).

Використовуючи матаналіз, ми можемо запитати найрізноманітніші питання:

• Як рівняння зростає і скорочується? Нарощується з часом?
• Коли воно досягне найвищої / низькою точки?
• Як ми використовуємо змінні, які постійно змінюються? (Тепло, рух, популяції, ...).
• І багато багато іншого!

Алгебра і матаналіз вирішують завдання разом: матаналіз знаходить нові рівняння, а алгебра їх вирішує. Як еволюція, матаналіз розширює ваше розуміння того, як працює матінка-природа.

Приклад, будь ласка

Уявімо, що ми знаємо рівняння довжини окружності (2 * π * r), і нам потрібно знайти площу. З чого почнемо?

Уявіть, що заповнений диск кола - це як набір матрьошок.

Тут є два способи намалювати цей диск:

• Намалювати коло і зафарбувати її
• Намалювати набір кілець товстим маркером

Кількість «простору» (площа) має бути однаковим в обох випадках, вірно? І скільки простору займає кільце?

Найбільше кільце має радіус «r», і довжина кола кільця обчислюється як 2 * π * r. У міру того, як кільця зменшуються, окружність також стає менше, але все одно зберігається співвідношення 2 * π * поточний радіус. Останнє кільце більше схоже на вушко шпильки, і довжину окружності вже не обчислиш.

А тепер починається найцікавіше. Давайте розкрутимо ці кільця і ​​вирівняємо їх. Що станеться?

• У нас вийде набір ліній, який складе зубчастий трикутник. Але якщо взяти більш тонкі кільця, то трикутник стає вже менш зубчастим (про це ми ще поговоримо в інших статтях).
• З одного боку буде найменше кільце (0), а з іншого - найбільше (2 * π * r)
• Кільця мають радіуси від 0 до «r». Для кожного можливого радіуса з цього діапазону (від 0 до r), ми просто поміщаємо розкручене кільце на своє місце.
• Загальна площа «кільцевого трикутника» = 1/2 підстави * висоту = 1/2 * r * (2 * π * r) = π * r2, а це і є формула пошуку площі кола!

Ух ти! Загальна площа кілець = площа трикутника = площа кола!

( Зображення з Вікіпедії )

Це був простий приклад, але ви вловили основну ідею? Ми взяли диск, розділили його, і склали частини разом трохи іншим шляхом. Матаналіз показав, що диск і кільце тісно пов'язані один з одним: диск - це дійсно набір кілець. Це дуже популярна тема в Матаналіз: Великі предмети складаються з більш дрібних предметів. І іноді саме з цими дрібними предметами працюється простіше і зрозуміліше.

Трохи про приклади

Безліч прикладів в Матаналіз засноване на фізиці. Це, звичайно, чудово, але буває складно їх сприймати: чесно, далеко не завжди вдається тримати в голові різні фізичні формули на кшталт формули швидкості об'єкта.

Я вважаю за краще почати з простих візуальних прикладів, тому що саме так і працює наш мозок. Кільце / коло, яке ми досліджували - ви б могли змоделювати те ж саме з декількох відрізків трубок різного діаметру: розділити їх, вирівняти і укласти в грубий трикутник, щоб переконатися, що математика дійсно працює. З простої фізичної формулою таке навряд чи вдасться провернути.

Трохи про математичної строгості (для фанатиків цієї науки)

Я відчуваю, як математики-педанти джгут свої клавіатури. Тому я вставлю всього кілька слів про «суворості». Чи знаєте ви, що ми не вчимо матаналіз способами, якими його відкрив Ньютон або Лейбніц? Вони використовували інтуїтивні ідеї «флюксии» і «нескінченно малих величин», які були замінені межами, тому що «Звичайно, це працює на практиці. Але чи працює це в теорії? ».

Ми створили складні механічні моделі, щоб «точно» довести матаналіз, але ми втратили інтуїтивне сприйняття предмета в процесі таких доказів.

Ми дивимося на солодкість цукру з точки зору хімії мозку, замість того, щоб пояснювати це мовою науки «У цукрі багато енергії. Їжте його ».

Я не хочу (і не можу) викладати матаналіз студентам або навчати вчених. Але чи буде погано, якщо кожен зможе розуміти матаналіз на тому «неточному» рівні, на якому його розумів Ньютон? Щоб це також змінило світ для вас, як колись змінило для нього?

Передчасна концентрація на точності розосереджують учнів і робить математику складної для вивчення. Ось хороший приклад: число е технічно визначено межею, але відкрито воно було саме за допомогою інтуїтивної здогадки про зростання . Натуральний логарифм може виглядати як інтеграл, або час, з яким потрібно рости . Які пояснення краще допоможуть новачкам?

Давайте трохи порисуємо від руки, а в хімію поринемо вже по ходу справи. Приємних обчислень.

(PS: Один шановний читачу створив анимированное слайд-шоу powerpoint , Яке допомагає презентувати цю ідею більш наочно (краще подивитися її в PowerPoint, там буде видно анімації). Спасибі!)

Переклад статті « A Gentle Introduction To Learning Calculus »